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江苏高考数学试卷2015_高考数学答案2015江苏
tamoadmin 2024-06-01 人已围观
简介1.江苏今年高考数学难吗南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.p? 2.一3.-2 4.55 5. 6.? 7.③④ 8. 9.? 10.50? 11.(1,2) 12. 2? 13. 14.1000015.(本小题满分14分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知cosC=.(1)若=,求△ABC的面
1.江苏今年高考数学难吗
南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.p? 2.一3.-2 4.55 5.
6.? 7.③④ 8. 9.? 10.50?
11.(1,2) 12. 2? 13. 14.10000
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知cosC=.
(1)若×=,求△ABC的面积;
(2)设向量x=(2sin,),y=(cosB,cos),且x∥y,求sin(B-A)的值.
解:(1)由·=,得abcosC=.
又因为cosC=,所以ab==.? …………………… 2分
又C为△ABC的内角,所以sinC=. …………………… 4分
所以△ABC的面积S=absinC=3. …………………… 6分
(2)因为x//y,所以2sincos=cosB,即sinB=cosB. ………………… 8分
因为cosB≠0,所以tanB=.
因为B为三角形的内角,所以B=. ………………… 10分
所以A+C=,所以A=-C. ?
所以sin(B-A)=sin(-A)=sin(C-)
=sinC-cosC=×-×
=.? ………………… 14分
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中, AD=CD=AB, AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
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(第16题图)
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(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN:PB的值.
证明:(1)连结AC.不妨设AD=1.
因为AD=CD=AB,所以CD=1,AB=2.
因为?ADC=90°,所以AC=,?CAB=45°.
在△ABC中,由余弦定理得BC=,所以AC2+BC2=AB2.
所以BC^AC. ?…………………… 3分
因为PC^平面ABCD,BC?平面ABCD,所以BC^PC.? …………………… 5分
因为PC?平面PAC,AC?平面PAC,PC∩AC=C,
所以BC^平面PAC.? …………………… 7分
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(第16题图)
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(2)如图,因为AB∥DC,CD?平面CDMN,AB?平面CDMN,
所以AB∥平面CDMN.? …………………… 9分
因为AB?平面PAB,
平面PAB∩平面CDMN=MN,
所以AB∥MN. …………………… 12分
在△PAB中,因为M为线段PA的中点,
所以N为线段PB的中点,
即PN:PB的值为.? …………………… 14分
17.(本小题满分14分)
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(第17题图)
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右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在圆的圆心为O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上, G,H在弦AB上).过O作OP^AB,交AB于M,交EF于N,交圆弧AB于P.已知OP=10,MP=6.5(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:m2).
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设∠POF=θ (rad),将S表示成θ的函数;
(ii)设MN=x (m),将S表示成x的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大?
解:(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5.
(i)在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.
在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,
故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).
即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=.
…………4分(ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5.
在Rt△ONF中,NF===.
在矩形EFGH中,EF=2NF=,FG=MN=x,
故S=EF×FG=x.
即所求函数关系是S=x,0<x<6.5. ………… 8分
(2)方法一:选择(i)中的函数模型:
令f(θ)=sinθ(20cosθ-7),
则f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.…………10分
由f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得cosθ=,或cosθ=-.
因为0<θ<θ0,所以cosθ>cosθ0,所以cosθ=.
设cosα=,且α为锐角,
则当θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数,
所以当θ=α,即cosθ=时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大. …………14分
方法二:选择(ii)中的函数模型:
因为S= ,令f(x)=x2(351-28x-4x2),
则f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39).? ……… 10分
因为当0<x<时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当<x<时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=时,f(x)取到最大值,此时S有最大值.
?即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大.? …………14分
18.(本小题满分16分)
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(第18题图)
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0) 的离心率为,直线l:y=x与椭圆E相交于A,B两点,AB=2.C,D是椭圆E上异于A,B的任意两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.
(1)求a,b的值;
(2)求证:直线MN的斜率为定值.
解:(1)因为e==,所以c2=a2,即a2-b2=a2,所以a2=2b2.……2分
故椭圆方程为+=1.
由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限.
由解得A(b,b).
又AB=2,所以OA=,即b2+b2=5,解得b2=3.
故a=,b=.? ……………… 5分
(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0),
显然k1≠k2.
从而k1 ·kCB=·====-.?
所以kCB=-. …………………… 8分
同理kDB=-.
于是直线AD的方程为y-1=k2(x-2),直线BC的方程为y+1=-(x+2).
由解得
从而点N的坐标为(,).
用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).
………… 11分
所以kMN= ==-1.
即直线MN的斜率为定值-1.? ………14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,
故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=-.
此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).
BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),
从而kMN=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1. …………16分
方法二:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).
①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2.
显然k1≠k2.
直线AC的方程y-1=k1(x-2),即y=k1x+(1-2k1).
由得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0.
设点C的坐标为(x1,y1),则2·x1=,从而x1=.
所以C(,).
又B(-2,-1),
所以kBC==-.? ……………… 8分
所以直线BC的方程为y+1=-(x+2).
又直线AD的方程为y-1=k2(x-2).
由解得
从而点N的坐标为(,).
用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).
……… 11分
所以kMN= ==-1.
即直线MN的斜率为定值-1.? ………………14分
②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,
根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,
故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).
仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=-.
此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).
BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),
从而kMN=-1也成立.
由①②可知,直线MN的斜率为定值-1.? ………………16分
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=1+lnx-,其中k为常数.
(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程;
(2)若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;
(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.
(参考数据ln8=2.08,ln9=2.20,ln10=2.30)
解:(1)当k=0时,f(x)=1+lnx.
因为f ?(x)=,从而f ?(1)=1.
又f (1)=1,
所以曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程y-1=x-1,
即x-y=0.? ………3分
(2)当k=5时,f(x)=lnx+-4.
因为f ?(x)=,从而
当x∈(0,10),f ′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(10,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=10时,f(x)有极小值. ……………… 5分
因f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)之间有一个零点.
因为f(e4)=4+-4>0,所以f(x)在(10,e4)之间有一个零点.
从而f(x)有两个不同的零点.? …………… 8分
(3)方法一:由题意知,1+lnx->0对x∈(2,+∞)恒成立,
即k<对x∈(2,+∞)恒成立.
令h(x)=,则h?(x)=.
设v(x)=x-2lnx-4,则v?(x)=.
当x∈(2,+∞)时,v?(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)为增函数.
因为v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0,
所以存在x0∈(8,9),v(x0)=0,即x0-2lnx0-4=0.
当x∈(2,x0)时,h?(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h?(x)>0,h(x)单调递增.
所以当x=x0时,h(x)的最小值h(x0)=.
因为lnx0=,所以h(x0)=∈(4,4.5).?
故所求的整数k的最大值为4. …………… 16分
方法二:由题意知,1+lnx->0对x∈(2,+∞)恒成立.
f(x)=1+lnx-,f ?(x)=.
①当2k≤2,即k≤1时,f?(x)>0对x∈(2,+∞)恒成立,
所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.
而f(2)=1+ln2>0成立,所以满足要求.
②当2k>2,即k>1时,
当x∈(2,2k)时,f ′(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(2k,+∞),f ′(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=2k时,f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.
从而f(x)>0在x∈(2,+∞)恒成立,等价于2+ln2k-k>0.
令g(k)=2+ln2k-k,则g?(k)=<0,从而g(k) 在(1,+∞)为减函数.
因为g(4)=ln8-2>0,g(5)=ln10-3<0 ,
所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整数k=4.
综合①②,知所求的整数k的最大值为4.? ……… 16分
20.(本小题满分16分)
给定一个数列{an},在这个数列里,任取m(m≥3,m∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列.
已知数列{an}的通项公式为an= (n∈N*,a为常数),等差数列a2,a3,a6是数列{an}的一个3阶子数列.
(1)求a的值;(2)等差数列b1,b2,…,bm是{an}的一个m (m≥3,m∈N*) 阶子数列,且b1= (k为常数,
k∈N*,k≥2),求证:m≤k+1;
(3)等比数列c1,c2,…,cm是{an}的一个m (m≥3,m∈N*) 阶子数列,求证:c1+c2+…+cm≤2-.
解:(1)因为a2,a3,a6成等差数列,所以a2-a3=a3-a6.
又因为a2=,a3=, a6=,
代入得-=-,解得a=0. ……………3分
(2)设等差数列b1,b2,…,bm的公差为d.
因为b1=,所以b2≤,
从而d=b2-b1≤ -=-. ?………………6分
所以bm=b1+(m-1)d≤-.
又因为bm>0,所以->0.
即m-1<k+1.
所以m<k+2.
又因为m,k∈N*,所以m≤k+1. …………… 9分
(3)设c1= (t∈N*),等比数列c1,c2,…,cm的公比为q.
因为c2≤,所以q=≤.?
从而cn=c1qn-1≤(1≤n≤m,n∈N*).?
所以c1+c2+…+cm≤+++…+
=[1-]
=-.? ………… 13分
设函数f(x)=x-,(m≥3,m∈N*).
当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=x-为单调增函数.
因为当t∈N*,所以1<≤2. 所以f()≤2-.
即 c1+c2+…+cm≤2-. ……… 16分
南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学附加题参考答案
A.选修4—1:几何证明选讲
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(第21A题图)
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如图,过点A的圆与BC切于点D,且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线,求证:EF∥BC.
证明:如图,连接ED.
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(第21A题图)
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因为圆与BC切于D,所以∠BDE=∠BAD.…………………… 4分
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠DAC.
又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF.
所以EF∥BC. …………………… 10分
B.选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=, A的逆矩阵A-1= .
(1)求a,b的值;
(2)求A的特征值.
解:(1)因为A A-1= ==.
所以
解得a=1,b=-.? …………………… 5分
(2)由(1)得A=,
则A的特征多项式f(λ)==(λ-3)( λ-1).
令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3. ………………… 10分
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(s为参数),直线l:(t为参数).设C与l交于A,B两点,求线段AB的长度.
解:由消去s得曲线C的普通方程为y=x2;
由消去t得直线l的普通方程为y=3x-2.…………… 5分
联立直线方程与曲线C的方程,即
解得交点的坐标分别为(1,1),(2,4).
所以线段AB的长度为=.?…………… 10分
D.选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证:(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8.
证明:因为x为正数,所以1+x≥2.
同理 1+y≥2,
1+z≥2.
所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥2·2·2=8. 因为xyz=1, 所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8. …… 10分22.(本小题满分10分)
甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望.?
解:(1)记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.
由题意得P(A)==,
P(B)=C··=,
P(C)= C··=. …………… 5分
(2)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=3)=P(A)+P(B)=;?P(X=2)=P(C)=,
P(X=1)=C··=,?P(X=0)=1-P(1≤X≤3)=.?
所以X的分布列为:
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0
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2
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从而E(X)=0×+1×+2×+3×=.
答:甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别为,,.甲队得分X的数学期望为. …………………… 10分
23.(本小题满分10分)
已知m,n∈N*,定义fn(m)=.
(1)记am=f6(m),求a1+a2+…+a12的值;
(2)记bm=(-1)mmfn(m),求b1+b2+…+b2n所有可能值的集合.
解:(1)由题意知,fn(m)=
所以am= ………………… 2分
所以a1+a2+…+a12=C+C+…+C=63. ?………………… 4分
(2)当n=1时, bm=(-1)mmf1(m)=则b1+b2=-1.………… 6分
当n≥2时,bm=
又mC=m·=n·=nC,
所以b1+b2+…+b2n=n[-C+C-C+C+…+(-1)nC]=0.
所以b1+b2+…+b2n的取值构成的集合为{-1,0}.? ………… 10分
江苏今年高考数学难吗
江苏高考数学满分是160分。江苏高考总分为480分,其中语文科目满分160分;英语科目满分120分;语文、数学分别另设附加题40分。
江苏省普通高考模式为“3+学业水平测试+综合素质评价”。
统考科目为语文、数学、外语三门。各科分值设定为:语文160分,数学160分,外语120分,共440分。语文、数学分别另设附加题40分。
文科类考生加试语文附加题;理科类考生加试数学附加题;不兼报文科类或理科类专业的体育类、艺术类考生不加试附加题。文科类、理科类考生三门统考总分为480分,体育类、艺术类考生三门统考总分为440分。
选修科目情况等级标准介绍
学业水平测试必修科目考试含物理,化学,生物,政治,历史,地理,信息技术7科,各科原始满分为100分,考生需参加未选为学业水平测试选修科目的5门必修科目,其中信息技术只能作为学业水平测试必修科目,学业水平测试必修科目按原始得分实行等级计分。
文科考生必考历史,理科考生必考物理,再从化学,生物,政治,地理中任选一门,学业水平测试选修科目按原始得分排名实行等级计分,分为6个:A+ 、A ( 5%-20% ]、B+ ( 20-30% ]、B ( 30%-50% ]、C ( 50%-90% ]、D ( 90%-100%]。
江苏今年高考数学难吗介绍如下:
江苏高考数学试卷总体来说难度加大,部分考完高考数学的考生表示,数学题很难。?
高考数学时间分配原则
对于高考数学基础比较薄弱的同学,重在保简易题。鉴于高考数学客观题部分主要是对基础知识点的考察,可以稍稍放慢速度,把时间控制在50-60分钟,力求做到准确细致,尽量保证70分的基础分不丢分。
之后的三道简易高考数学解答题每题平均花10-15分钟完成。至于后三道高考数学大题,建议先阅读完题目,根据题意把可以联想到的常考知识点写出来,例如涉及函数单调性、切线斜率的可对函数求导,圆锥曲线的设出标准方程、数列里求出首项等等。如果没有其它的思路,不要耽误太多时间,把剩下的时间倒回去检查前面的题目。
高考数学题要认真仔细对于一道具体的习题,解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题,这是获取信息量和思考的过程。所以,在高考数学实际解题时,应特别注意,审题要认真、仔细。
高考数学考试答题技巧及方法
1.调整好状态,控制好自我。
(1)保持清醒。数学的考试时间在下午,建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时,其间尽量放松自己,从心理上暗示自己:只有静心休息才能确保考试时清醒。(2)按时到位。今年的答题卡不再单独发放,要求答在答题卷上,但发卷时间应在开考前5-10分钟内。建议同学们提前15-20分钟到达考场。
2.通览试卷,树立自信。
刚拿到试卷,一般心情比较紧张,此时不易匆忙作答,应从头到尾、通览全卷,哪些是一定会做的题要心中有数,先易后难,稳定情绪。答题时,见到简单题,要细心,莫忘乎所以。面对偏难的题,要耐心,不能急。
3.提高解选择题的速度、填空题的准确度。
数学选择题是知识灵活运用,解题要求是只要结果、不要过程。因此,逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法?尽显威力。12个选择题,若能把握得好,容易的一分钟一题,难题也不超过五分钟。由于选择题的特殊性,由此提出解选择题要求“快、准、巧”,忌讳“小题大做”。填空题也是只要结果、不要过程,因此要力求“完整、严密”。
4.审题要慢,做题要快,下手要准。
题目本身就是破解这道题的信息源,所以审题一定要逐字逐句看清楚,只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息。
找到解题方法后,书写要简明扼要,快速规范,不拖泥带水,牢记高考评分标准是按步给分,关键步骤不能丢,但允许合理省略非关键步骤。答题时,尽量使用数学语言、符号,这比文字叙述要节省而严谨。
5.保质保量拿下中下等题目。
中下题目通常占全卷的80%以上,是试题的主要部分,是考生得分的主要来源。谁能保质保量地拿下这些题目,就已算是打了个胜仗,有了胜利在握的心理,对攻克高难题会更放得开。
6.要牢记分段得分的原则,规范答题。
会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学,防止被“分段扣点分”。